摘要：闡述了環(huán)件軋制三維有限元模擬中運(yùn)用質(zhì)量縮放方法的意義及其理論依據(jù)，并對(duì)顯式動(dòng)力學(xué)有限元模擬中各種質(zhì)量縮放方法進(jìn)行了分類(lèi)，給出了環(huán)件軋制模擬中質(zhì)量縮放方法的選取原則。最后基于ABAQUS/EXPLICIT操作平臺(tái)，建立了鉛環(huán)件的環(huán)件軋制三維有限元模型，通過(guò)具體模擬及分析比較計(jì)算結(jié)果對(duì)選取原則進(jìn)行了驗(yàn)證，從而總結(jié)出了適合于環(huán)件軋制模擬的有效的質(zhì)量縮放方法。
關(guān)鍵詞：環(huán)件軋制  有限元模擬  質(zhì)量縮放
中圖分類(lèi)號(hào)：TG

1 前言

    大變形動(dòng)態(tài)非線性問(wèn)題（nonlinear problem of dynamic large deformation）[1]的計(jì)算和分析可以說(shuō)代表目前有限元分析的最高水平，也是目前還在處于迅速發(fā)展的領(lǐng)域,其包括的方面主要有：板料成型工藝的數(shù)值模擬（汽車(chē)覆蓋件），汽車(chē)安全性碰撞的全過(guò)程計(jì)算，材料的體積成形工藝（擠壓、鍛造、軋制）的全過(guò)程數(shù)值模擬等，環(huán)件軋制的三維有限元模擬就屬于其中的一種材料體積成形工藝的全過(guò)程數(shù)值模擬。對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題中存在的幾何非線性和材料非線性問(wèn)題，用于計(jì)算求解的方法主要有兩種：靜力隱式算法和動(dòng)力顯式算法。靜力隱式算法的特征是迭代計(jì)算，在每一時(shí)間步內(nèi)需反復(fù)迭代，迭代收斂性會(huì)受許多因素的影響，在計(jì)算中須調(diào)整迭代以滿(mǎn)足收斂，而且其計(jì)算時(shí)間隨模型單元數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)，所以其計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。而動(dòng)力顯式算法是遞推計(jì)算，無(wú)需迭代，就時(shí)間步長(zhǎng)直接進(jìn)行遞推計(jì)算，計(jì)算時(shí)間隨單元數(shù)量呈線性增長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間短，而且可以通過(guò)質(zhì)量縮放來(lái)縮短計(jì)算時(shí)間，所以對(duì)于大規(guī)模計(jì)算和高度非線性問(wèn)題[2]，動(dòng)力顯式算法總體效率要比靜力隱式算法高，優(yōu)勢(shì)明顯。近年來(lái)，隨著在板料成型及碰撞沖擊領(lǐng)域得到日益廣泛的應(yīng)用，對(duì)于材料的體積成形工藝領(lǐng)域，人們也都開(kāi)始采用動(dòng)力顯式有限元法對(duì)其進(jìn)行過(guò)程模擬研究[3]，而且取得了較好的成效。

    動(dòng)力顯式算法在有限元分析中通常被用來(lái)解決兩類(lèi)典型的問(wèn)題：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析和準(zhǔn)靜態(tài)分析（其中包括復(fù)雜的非線性效應(yīng)和接觸條件），而環(huán)件軋制的模擬則是其中的一種準(zhǔn)靜態(tài)分析。由于動(dòng)力顯式算法采用的中心差分法是通過(guò)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算，引入了質(zhì)量矩陣[4]，所以在準(zhǔn)靜態(tài)分析中用于平衡方程式中的離散質(zhì)量矩陣對(duì)計(jì)算效率和精度都起著至關(guān)重要的作用。從而在這類(lèi)問(wèn)題的模擬中，如何正確適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用質(zhì)量縮放方法，使其能夠起到在保持計(jì)算精度和穩(wěn)定結(jié)果的同時(shí)提高計(jì)算效率的作用，也成為了一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題。目前，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，人們也開(kāi)始對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的分析研究，東北大學(xué)在利用顯式動(dòng)力學(xué)有限元法模擬平板軋制過(guò)程中，通過(guò)計(jì)算實(shí)例研究了采用提高模擬軋制速度和質(zhì)量縮放技術(shù)來(lái)縮短計(jì)算時(shí)間等方法的有效性，在忽略慣性慣性力影響的前提下得出了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合的計(jì)算結(jié)果[5]。燕山大學(xué)在用顯式動(dòng)力學(xué)有限元法分析板帶軋制壓力分布時(shí)提出了為了加快計(jì)算速度而采用的虛擬速度和虛擬質(zhì)量帶來(lái)的虛擬慣性效應(yīng)會(huì)影響計(jì)算的結(jié)果[6]。而在環(huán)件軋制成形模擬方面，并沒(méi)有人通過(guò)具體的實(shí)例分析來(lái)驗(yàn)證質(zhì)量縮放技術(shù)在環(huán)軋模擬中運(yùn)用的有效性和合理性。本文運(yùn)用Abaqus 軟件建立環(huán)件軋制的三維有限元模型，并采用動(dòng)力顯式算法對(duì)鉛環(huán)件的軋制過(guò)程模擬進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，驗(yàn)證了質(zhì)量縮放技術(shù)在環(huán)軋模擬中運(yùn)用的有效性，并通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析比較，給出了適合環(huán)件軋制模擬的有效的質(zhì)量縮放方法。

2 質(zhì)量縮放在環(huán)軋模擬中的意義及理論依據(jù)

    在Abaqus中利用Explict[7]來(lái)進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)模擬分析的求解，為了在較快的時(shí)間內(nèi)獲得可以接受的靜態(tài)解，以提高求解的效率，通常通過(guò)兩種方法來(lái)達(dá)到目的：一種是人為的提高成型模擬過(guò)程的速度；另一種則是通過(guò)質(zhì)量縮放來(lái)提高模擬速度。對(duì)于環(huán)件軋制，模型的材料性能隨應(yīng)變率的改變而變化[8]，人為的提高進(jìn)給速度就會(huì)人為的改變整個(gè)變形的過(guò)程，使得與實(shí)際不相符，而且在實(shí)際的環(huán)軋生產(chǎn)工藝中，進(jìn)給速度最大值受環(huán)件咬入條件的限制[9]，人為的提高進(jìn)給速度，如果超過(guò)了最大值，即使模擬能夠得到穩(wěn)定解，在實(shí)際軋制中由于環(huán)件不能滿(mǎn)足咬入條件，軋制過(guò)程也是不可能正常進(jìn)行的。所以人為的提高進(jìn)給速度會(huì)使得模擬與實(shí)際脫離，失去了模擬用于驗(yàn)證和指導(dǎo)實(shí)踐的作用，是不可取的。所以對(duì)于環(huán)軋的模擬，只能通過(guò)質(zhì)量縮放來(lái)提高模擬速度。在Abaqus中，質(zhì)量縮放是通過(guò)質(zhì)量縮放因子來(lái)完成的，質(zhì)量縮放因子取的太小達(dá)不到提高計(jì)算速度的效果，取的太大則會(huì)使得隨著質(zhì)量的增大而隨之產(chǎn)生的虛擬慣性力的增大影響到計(jì)算的結(jié)果，甚至使得結(jié)果不能收斂。所以質(zhì)量縮放因子的正確選取也就成為了環(huán)軋模擬中，質(zhì)量縮放方法運(yùn)用的關(guān)鍵。
    動(dòng)力顯式算法的中心差分法是條件收斂的，其穩(wěn)定的收斂條件是：

其中△t為時(shí)間步長(zhǎng)，△tcr為臨界時(shí)間步長(zhǎng)，Tn是有限元系統(tǒng)的最小固有振動(dòng)周期。在利用中心差分法求解具體問(wèn)題時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)必須小于由該問(wèn)題求解方程性質(zhì)所決定的臨界時(shí)間步長(zhǎng)△tcr，否則算法將是不收斂的。
    臨界時(shí)間步長(zhǎng)通?？梢越普J(rèn)為是應(yīng)力波通過(guò)任一單元網(wǎng)格所消耗時(shí)間的最小值，即：

式中Lmin為模型中單元的最小長(zhǎng)度，與網(wǎng)格劃分的疏密相關(guān)，cd為應(yīng)力波在單元中傳播的速度，對(duì)于金屬材料可以表示為：

其中ρ為材料密度，λ和μ為拉梅常數(shù)，可以通過(guò)楊氏模量E和泊松比ν來(lái)表示：

代入上式則可以表示為成

在Abaqus中用Explict進(jìn)行求解計(jì)算時(shí)，所消耗的時(shí)間長(zhǎng)短與增量數(shù)n有直接聯(lián)系，n可以表示為n=T/△tcr ，其中T為整個(gè)模擬過(guò)程完成所需要的時(shí)間周期（對(duì)于環(huán)件軋制模擬，T即為軋制時(shí)間）。

， 則 ， 因?yàn)?lambda;和μ與材料的物理性能相關(guān)，是常數(shù)，由此可以看出n值大小與時(shí)間周期T成正比，與單元長(zhǎng)度L及ρ值成反比。n值越小，Explict在計(jì)算時(shí)處理這些增量所消耗的時(shí)間也就越短，計(jì)算效率也就越高。所以為了減小n值，可以通過(guò)減小時(shí)間周期和增大單元長(zhǎng)度和密度來(lái)完成。在環(huán)軋模擬中，減小時(shí)間周期即為減小軋制時(shí)間，而軋制時(shí)間與進(jìn)給速度成反比，減小軋制時(shí)間即意味著增大進(jìn)給速度，這在前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)是不可取的，而單元長(zhǎng)度的大小代表著網(wǎng)格的疏密，增大單元長(zhǎng)度即為疏劃網(wǎng)格，網(wǎng)格劃的太疏則會(huì)降低計(jì)算精度，達(dá)不到進(jìn)行精確分析的效果，一般來(lái)說(shuō)也是不可取的。而對(duì)于增大密度，根據(jù)塑性變形的體積不變定理，增大密度也就是增大質(zhì)量，質(zhì)量增大倍，根據(jù)上面公式臨界時(shí)間步長(zhǎng)值△tcr就會(huì)增大倍，相應(yīng)的n值就會(huì)減小倍。所以在Abaqus中，通過(guò)質(zhì)量放大來(lái)達(dá)到等效于增大密度從而減小n值的作用，即能保證模擬的穩(wěn)定性和精確度，又能有效的提高計(jì)算效率，是最可取的一種方法。

3 質(zhì)量縮放方法的分類(lèi)及選取原則

    前面已經(jīng)提過(guò)，動(dòng)力顯式算法主要用于解決結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析和準(zhǔn)靜態(tài)分析兩種類(lèi)型的問(wèn)題，雖然都是用同一種算法，但這兩類(lèi)問(wèn)題仍然有很大差別，Abaqus/Explict中用于動(dòng)力顯式算法的質(zhì)量縮放方法有很多種，但這些方法對(duì)于兩種類(lèi)型問(wèn)題的分析并不是通用的，大多數(shù)適合于準(zhǔn)靜態(tài)分析的質(zhì)量縮放方法并不適合于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。由于環(huán)件軋制模擬屬于一種準(zhǔn)靜態(tài)分析。所以這里只介紹適合于準(zhǔn)靜態(tài)分析的質(zhì)量縮放方法。
    Abaqus/Explict所提供的用于準(zhǔn)靜態(tài)分析的質(zhì)量縮放方法主要有兩種類(lèi)型：

    1.通過(guò)用戶(hù)給定的質(zhì)量縮放因子進(jìn)行縮放。這是最簡(jiǎn)單直接的一種質(zhì)量縮放方法，用戶(hù)輸入質(zhì)量想要放大的倍數(shù)即縮放因子值，則Abaqus/Explict會(huì)將臨界時(shí)間步長(zhǎng)值放大倍，而且在計(jì)算過(guò)程的每一時(shí)間步中，都會(huì)將此時(shí)間步的DT值（Abaqus/Explict中以DT表示時(shí)間步長(zhǎng)，以下均用DT表示）放大倍。
    2.通過(guò)用戶(hù)給定的DT值進(jìn)行縮放。這種方法就是用戶(hù)直接輸入所需求的DT值，而不需要通過(guò)給出質(zhì)量縮放因子進(jìn)行縮放，但前提條件是所給出的DT值不能小于Abaqus/Explict根據(jù)用戶(hù)所給出的材料性能參數(shù)計(jì)算出的原始DT值，否則就起不到質(zhì)量放大的作用。這里需要說(shuō)明的是Abaqus/Explict在進(jìn)行求解計(jì)算時(shí)會(huì)對(duì)用戶(hù)建模所生成的求解文件進(jìn)行檢查，并根據(jù)文件中給出的材料性能參數(shù)ρ，λ和μ從而估算給出一個(gè)原始DT值，也就是未進(jìn)行質(zhì)量縮放前的DT值，這個(gè)值其實(shí)也就是通常所說(shuō)的臨界步長(zhǎng)值，但是Abaqus/Explict為了保證計(jì)算的穩(wěn)定和收斂，所給出的原始DT值一般都要比實(shí)際臨界步長(zhǎng)值要小，對(duì)于三維模型，一般為實(shí)際值的/3 ～ 1倍。然后Abaqus/Explict再根據(jù)用戶(hù)給出的質(zhì)量縮放方法對(duì)DT值進(jìn)行放大，如果給出的是縮放因子a，則Abaqus/Explict將DT值增大倍，如果用戶(hù)直接給出了DT值，Abaqus/Explict則直接將其替換成用戶(hù)給出的DT值，兩個(gè)DT值的比值也就是用戶(hù)運(yùn)用這種縮放方法進(jìn)行放大后，計(jì)算時(shí)間減少的倍數(shù)。所以用戶(hù)在運(yùn)用這種方法時(shí)必須保證給定的DT值不能小于原始DT值。對(duì)于這種方法，根據(jù) Abaqus/Explict對(duì)DT值進(jìn)行不同控制的操作，還可以將其分為三種方法。

    a  直接根據(jù)給出的DT值進(jìn)行縮放，對(duì)DT值不進(jìn)行控制。這種方法其實(shí)和通過(guò)給出縮放因子進(jìn)行縮放是同一原理。因?yàn)榻o出縮放因子，在表現(xiàn)方法上也是通過(guò)給出的因子值，將DT值進(jìn)行相應(yīng)倍數(shù)的放大。如果用戶(hù)給出的DT值是原始DT值的4倍，效果就相當(dāng)于給出的縮放因子值為16，則Abaqus/Explic會(huì)將每一時(shí)間步的DT值放大4倍。

    b  用戶(hù)給出DT值，在計(jì)算的每一時(shí)間步中，Abaqus/Explict自動(dòng)對(duì)每一步的DT值進(jìn)行控制，使得每一步的DT值在進(jìn)行縮放后不超過(guò)用戶(hù)最初給定的DT值。因?yàn)樵谟肁baqus建立模型時(shí)，網(wǎng)格劃分采用的是自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，那么在模擬過(guò)程中，隨著模型形狀變形，Abaqus會(huì)自動(dòng)對(duì)模型進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格重劃[10][11]。由于模型各個(gè)區(qū)域的變形程度不同，所以重劃后的網(wǎng)格與最初網(wǎng)格相比，其各個(gè)單元的單元長(zhǎng)度也發(fā)生了變化，有的單元的長(zhǎng)度會(huì)減小，有的則會(huì)增大，隨著模型變形的加劇，進(jìn)行多次網(wǎng)格重劃后的模型，其各個(gè)單元的單元長(zhǎng)度變化也會(huì)越來(lái)越大，有的單元的長(zhǎng)度會(huì)逐漸減小，有的則會(huì)逐漸增大，Abaqus/Explict在確定每一時(shí)間步的DT值時(shí)，為了保證所有單元的計(jì)算收斂，是以這一時(shí)刻的應(yīng)力波穿過(guò)長(zhǎng)度最大的一個(gè)單元所消耗的時(shí)間為這一時(shí)間步的DT值進(jìn)行計(jì)算的。這樣，如果這個(gè)DT值不超過(guò)臨界時(shí)間步長(zhǎng)則就能保證這個(gè)時(shí)間步計(jì)算的收斂性。所以在具體確定某一時(shí)間步的DT值時(shí)，隨著有些單元的長(zhǎng)度的逐漸增大，應(yīng)力波穿過(guò)最大一個(gè)單元所消耗的時(shí)間也就越大，那么這一時(shí)間步的DT值就會(huì)增大，可能會(huì)超過(guò)原始DT值，甚至有可能超過(guò)了臨界時(shí)間步長(zhǎng)值，那么這一時(shí)間步的計(jì)算就不收斂了。為了保證計(jì)算的精確度，Abaqus/Explict中的自適應(yīng)網(wǎng)格劃分在每一時(shí)間步都會(huì)對(duì)模型網(wǎng)格進(jìn)行重劃，也就是說(shuō)整個(gè)計(jì)算過(guò)程的每一時(shí)間步的DT值都是在變化的。所以這種縮放方法通過(guò)對(duì)每一時(shí)間步的DT值進(jìn)行控制，使其不超過(guò)原始DT值，以避免出現(xiàn)DT值超出臨界時(shí)間步長(zhǎng)值，使得計(jì)算結(jié)果不收斂的現(xiàn)象，對(duì)于大變形的準(zhǔn)靜態(tài)分析是非常合適的。

    c  用戶(hù)給出DT值，在計(jì)算的每一時(shí)間步中，Abaqus/Explict自動(dòng)對(duì)每一步的DT值進(jìn)行控制，使得每一步的DT值在進(jìn)行縮放后都等于用戶(hù)最初給定的DT值。這種方法通過(guò)縮放DT值使每一時(shí)間步的DT值都恒等于最初的DT值，這樣也就避免出現(xiàn)上面所說(shuō)的隨著網(wǎng)格重劃而出現(xiàn)的逐漸增大的DT值超過(guò)臨界時(shí)間步長(zhǎng)值使得計(jì)算不收斂的現(xiàn)象。所以這種方法對(duì)于保證準(zhǔn)靜態(tài)分析過(guò)程的收斂性也是很有效的。
以上幾種縮放方法都適合于準(zhǔn)靜態(tài)分析。但是，無(wú)論對(duì)于通過(guò)質(zhì)量縮放因子縮放，還是給出DT值縮放，如果縮放系數(shù)太大，則隨之產(chǎn)生的虛擬慣性力會(huì)影響到計(jì)算的精度和收斂性，縮放系數(shù)太小則達(dá)不到提高計(jì)算效率的目的。在準(zhǔn)靜態(tài)分析中[12]，為了保證模擬過(guò)程的穩(wěn)定性，一般要求變形的動(dòng)能值較小，且變化平穩(wěn)，勢(shì)能值則較大，動(dòng)能與勢(shì)能的比值較小，一般不能超過(guò)0.1，這樣使得能量大部分用于模型的變形。所以一般在準(zhǔn)靜態(tài)分析中，質(zhì)量縮放方法的基本選取原則就是：無(wú)論采用何種方法進(jìn)行縮放，必須保證在整個(gè)過(guò)程中的動(dòng)能值要較小，動(dòng)能與勢(shì)能的比值不能超過(guò)0.1。在滿(mǎn)足這個(gè)前提條件的情況下進(jìn)行縮放，一般都是可行的。

4  質(zhì)量縮放方法的實(shí)例比較

本文以Abaqus軟件為操作平臺(tái)，以工業(yè)純鉛為材料，建立鉛環(huán)件軋制的三維有限元模型。并用以動(dòng)力顯式算法為基礎(chǔ)的求解器Abaqus/Explict進(jìn)行求解計(jì)算。有限元模型如下：

圖1  環(huán)件軋制三維有限元模型圖

    工業(yè)純鉛密度ρ=11340kg/m3 ,彈性摸量E=17GPa ,泊松比ν=0.3，最初網(wǎng)格劃分的單元長(zhǎng)度為0.01m，根據(jù)上文所給出△tcr公式，將上述值代入求得臨界時(shí)間步長(zhǎng)理論值為△tcr=4.955×10-6s，而Abaqus/Explict在檢查求解文件時(shí)所給出的原始DT值為2.511×10-6s
    由此可以看出為了保證計(jì)算過(guò)程的穩(wěn)定性，Abaqus/Explict所給出原始DT值要比理論值小。
    首先采用給出縮放因子進(jìn)行縮放的方法，來(lái)比較不同數(shù)量級(jí)的縮放因子，對(duì)模擬結(jié)果的影響，本文分別取縮放因子

4、100、1000對(duì)環(huán)件軋制過(guò)程進(jìn)行了模擬，環(huán)件最終的成形狀況如圖2所示:

圖2 不同數(shù)量級(jí)的縮放因子時(shí)的環(huán)件最終的成形狀況

    圖2中從左至右依次分別為質(zhì)量縮放因子為4、100、1000時(shí)環(huán)件最終的成形網(wǎng)格圖。通過(guò)對(duì)比可以看出，最左邊的圖效果最好，為圓環(huán)形；中間的圖基本為圓環(huán)狀，但左中部分呈明顯的橢圓形，效果比要差；最右邊的圖效果最差，環(huán)件基本沒(méi)有變形左中部分就被壓扁了。由此，單從形狀上看，采用1000的縮放因子是不合理的?？s放因子分別為4和100時(shí)，環(huán)件端面寬展變形，環(huán)件變形的動(dòng)能歷史，及動(dòng)、勢(shì)能比值比較如下：

圖3 環(huán)件端面的寬展變形    圖4 環(huán)件變形的動(dòng)能歷史   圖5 動(dòng)、勢(shì)能比值

     圖3橫軸是環(huán)件的徑向尺寸，從環(huán)件的內(nèi)環(huán)面開(kāi)始為0，縱軸是環(huán)件端面的寬展距離。從圖中可以看出，縮放因子為4時(shí)，環(huán)件沿徑向的寬展變形較平緩，基本符合實(shí)際軋制中兩端寬展大，中間寬展小的情況，成形后的端面凹陷不會(huì)很明顯。而縮放因子為100時(shí)，環(huán)件沿徑向由內(nèi)向外呈明顯的上升趨勢(shì)，外端面的寬展要比內(nèi)端面大很多，那么成形后就會(huì)形成很明顯的端面凹陷[13]。再比較環(huán)件變形的動(dòng)能歷史，從圖4可以看出，縮放因子為4時(shí)，環(huán)件在整個(gè)變形過(guò)程的動(dòng)能值較小，且變化平緩，符合上文所述的準(zhǔn)靜態(tài)分析中，要求有較小且變化平穩(wěn)的動(dòng)能值的原則，這樣環(huán)件變形過(guò)程就會(huì)較穩(wěn)定。縮放因子為100時(shí)，在同一時(shí)刻環(huán)件變形的動(dòng)能值幾乎都要比前者大很多，而且整個(gè)變形過(guò)程中動(dòng)能變化很不平穩(wěn)，升降幅度很大，不符和上述原則，這樣環(huán)件變形過(guò)程就會(huì)不穩(wěn)定，產(chǎn)生振動(dòng)或搖擺的現(xiàn)象。最后比較環(huán)件的動(dòng)、勢(shì)能比值，從圖四中可以看出，縮放因子為4時(shí)，在變形的初始階段，環(huán)件的動(dòng)、勢(shì)能比值超過(guò)了0.1，最大值為0.3，且不穩(wěn)定，有波動(dòng)現(xiàn)象，到大約0.4秒時(shí)比值下降為小于0.1，隨后趨于平穩(wěn)。而縮放因子為100時(shí)，動(dòng)、勢(shì)能比值不僅明顯超過(guò)了0.1，而且比值較大，最大值達(dá)到了1.3，比同一時(shí)刻的縮放因子為4時(shí)的比值要大很多。在接近1秒時(shí)比值才小于0.1趨于穩(wěn)定，不穩(wěn)定時(shí)間持續(xù)較長(zhǎng)，幾乎為整個(gè)過(guò)程的1/3，而在穩(wěn)定階段，比值也比縮放因子為4時(shí)高。由此，從以上3幅圖的比較可以看出：無(wú)論從工藝需求的寬展變形和端面凹陷方面，還是從Abaqus/Explict本身進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)分析時(shí)對(duì)動(dòng)能輸出及動(dòng)、勢(shì)能比值的要求方面來(lái)看，縮放因子取4比取100要更合理。

    以上通過(guò)對(duì)比分析確定了縮放因子取4時(shí)符合本文所建鉛環(huán)件模型的模擬需求。下面比較直接給出縮放因子進(jìn)行縮放即上文所述方法1和通過(guò)給出DT值進(jìn)行縮放，并對(duì)DT值進(jìn)行不同控制的縮放方法即上文所述的方法2中的方法b和方法c（前面已經(jīng)講過(guò)方法2中的方法a和方法一其實(shí)是一樣的，所以在下面的比較中以方法a代替方法1）這三種方法對(duì)模擬成形的影響。模擬過(guò)程中仍以縮放因子4為前提，轉(zhuǎn)化為DT值即為放大2倍。采用3種不同方法時(shí)，環(huán)件端面寬展變形，環(huán)件變形的動(dòng)能歷史，及動(dòng)、勢(shì)能比值比較如下：

圖6 環(huán)件端面寬展變形     圖7 環(huán)件變形的動(dòng)能歷史

圖8 環(huán)件變形的動(dòng)、勢(shì)能比值 圖9 環(huán)件變形的DT值比較

    從圖6可以看出，三種方法中環(huán)件端面的寬展變形并無(wú)明顯差別，由此可以看出這三中縮放方法對(duì)寬展變形的影響不大。從圖7可以看出，雖然三種方法的動(dòng)能變化都較平緩，但同一時(shí)刻方法b的動(dòng)能值比方法a和c明顯要小，方法a和c的動(dòng)能值變化則基本一致。圖8為三種方法的環(huán)件變形動(dòng)、勢(shì)能比值比較，從圖中可以看出，方法a和c剛開(kāi)始階段比值都超過(guò)了0.1，但c相對(duì)a要好，最大比值為0.17，而a最大值為0.31，c的比值波動(dòng)的幅度要比a小，比值降為小于0.1時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間也要比a短。方法b的效果則最好，環(huán)件變形的整個(gè)過(guò)程中動(dòng)、勢(shì)能比值都要小于0.1，最大值為0.095，而在隨后的穩(wěn)定階段，同一時(shí)刻方法b的動(dòng)、勢(shì)能比值也要比方法a和c的小。圖8為計(jì)算過(guò)程中每個(gè)時(shí)間步的DT值輸出。由于Abaqus/Explict給出原始DT值為2.511×10-6s，而最初都是將DT值放大2倍即為5.022×10-6s，所以從圖中可以看出三種方法剛開(kāi)始的DT值都為5.022×10-6s。方法a不對(duì)DT值進(jìn)行任何控制，從圖中可以看出有些時(shí)間步的DT值明顯大于最初值，雖然在本模型的分析中，這些較大的DT值并沒(méi)有超過(guò)實(shí)際的臨界時(shí)間步長(zhǎng)而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂，但在其它模型的分析中，如果Abaqus/Explict所給出的原始DT值與實(shí)際臨界時(shí)間步長(zhǎng)值很接近時(shí)，那么運(yùn)用方法a進(jìn)行縮放時(shí)，較大的DT值就可能會(huì)超過(guò)實(shí)際臨界時(shí)間步長(zhǎng)值而使得計(jì)算結(jié)果不收斂。方法b是控制DT值，使每步的DT值都不超過(guò)最初值，從圖中也可以看出，整個(gè)過(guò)程的DT值處在一個(gè)下降的趨勢(shì)中，且都不超過(guò)5.022×10-6s。方法c是控制DT值，使每步的DT值都等于最初值，從圖中明顯可以看出，整個(gè)DT值變化為一條直線都等于5.022×10-6s。另外，對(duì)于使用三種縮放方法進(jìn)行模擬時(shí)，記錄CPU計(jì)算消耗時(shí)間分別為1小時(shí)39分，1小時(shí)40分和1小時(shí)42分。可見(jiàn)三種縮放方法計(jì)算效率幾乎一樣。

    從以上四幅圖的分析比較中可以看出方法b既符合準(zhǔn)靜態(tài)分析對(duì)動(dòng)能輸出及動(dòng)、勢(shì)能比值的要求，又能保證有效的計(jì)算效率，所以是三種方法中最適合本模型分析的質(zhì)量縮放方法。
    總結(jié)以上的分析比較可以得出：準(zhǔn)靜態(tài)分析中質(zhì)量縮放方法的選取原則對(duì)環(huán)件軋制的模擬是適用的。對(duì)于環(huán)軋模擬中縮放方法的運(yùn)用，首先應(yīng)該從環(huán)件成形的形狀、寬展變形、動(dòng)能變化及動(dòng)、勢(shì)能輸出等方面進(jìn)行比較，確定一個(gè)較合適的縮放因子，然后再運(yùn)用方法b，通過(guò)對(duì)每一時(shí)間步的時(shí)間步長(zhǎng)值進(jìn)行控制，保證其不超過(guò)臨界時(shí)間步長(zhǎng)值。這樣，即提高了計(jì)算效率又保證了計(jì)算過(guò)程的穩(wěn)定性和收斂性。

5  結(jié)論

    本文采用不同的質(zhì)量縮放方法及放大系數(shù)對(duì)鉛環(huán)件三維有限元模型進(jìn)行了實(shí)例分析，通過(guò)分析比較不同縮放系數(shù)時(shí)的模擬結(jié)果，驗(yàn)證了在準(zhǔn)靜態(tài)分析中，為了保證模擬過(guò)程的穩(wěn)定性，質(zhì)量縮放方法的選取必須遵循：通過(guò)縮放后的整個(gè)模擬過(guò)程其變形的動(dòng)能值應(yīng)較小，且變化平穩(wěn)，勢(shì)能值則較大，動(dòng)能與勢(shì)能的比值應(yīng)較小，一般不能超過(guò)0.1，這一選取原則對(duì)環(huán)件軋制模擬是適用的；通過(guò)分析比較采用不同縮放方法時(shí)的模擬結(jié)果，總結(jié)了一套適用于環(huán)件軋制模擬的最有效的質(zhì)量縮放方法。